Решете (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Чекори за решение

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

За да го најдете спротивното на 9x^{2}-12x+4, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Комбинирајте -9x^{2} и -40x^{2} за да добиете -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Додај 205 на двете страни.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Соберете -4 и 205 за да добиете 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -5x со 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -35x+15x^{2} со 7+3x и да ги комбинирате сличните термини.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Комбинирајте 16x и -245x за да добиете -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Комбинирајте 4x^{2} и -49x^{2} за да добиете -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Комбинирајте -229x и 12x за да добиете -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Соберете 16 и 201 за да добиете 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Прераспоредете ја равенката за да ја ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Според теоремата за рационален корен, сите рационални корени од полиномот се во форма \frac{p}{q}, каде p го дели константниот термин 217, а q го дели главниот коефициент 45. Наведи ги сите кандидати \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Најдете корен, така што ќе ги испробате сите вредности со цели броеви, почнувајќи од најмалата, според апсолутна вредност. Доколку нема корени на цели броеви, пробајте со дропки.

$$x=1$$

Според теоремата за факторизација, x-k е фактор од полиномот за секој корен k. Поделете 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 со x-1 за да добиете 45x^{2}-217. Реши ја равенката каде резултатот е еднаков на 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 45 со a, 0 со b и -217 со c во квадратната формула.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Пресметајте.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Решете ја равенката 45x^{2}-217=0 кога ± е плус и кога ± е минус.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Наведете ги сите најдени решенија.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$