Решете (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 15 на степен од 2 и добијте 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Одземете 225 од 9 за да добиете -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 10 на степен од 2 и добијте 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да го најдете спротивното на x^{2}-2x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Одземете 1 од 100 за да добиете 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Одземете 99 од двете страни.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Одземете 99 од -216 за да добиете -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Комбинирајте 4x^{2} и x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Одземете 2x од двете страни.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Комбинирајте 12x и -2x за да добиете 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-63. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Решението е парот што дава збир 2.

$$a=-7 b=9$$

Препиши го x^{2}+2x-63 како \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 9 во втората група.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 15 на степен од 2 и добијте 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Одземете 225 од 9 за да добиете -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 10 на степен од 2 и добијте 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да го најдете спротивното на x^{2}-2x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Одземете 1 од 100 за да добиете 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Одземете 99 од двете страни.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Одземете 99 од -216 за да добиете -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Комбинирајте 4x^{2} и x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Одземете 2x од двете страни.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Комбинирајте 12x и -2x за да добиете 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, 10 за b и -315 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Собирање на 100 и 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±80}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Делење на 70 со 10.

$$x=7$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±80}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 80 од -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Делење на -90 со 10.

$$x=-9$$

Равенката сега е решена.

$$x=7 x=-9$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 15 на степен од 2 и добијте 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Одземете 225 од 9 за да добиете -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 10 на степен од 2 и добијте 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да го најдете спротивното на x^{2}-2x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Одземете 1 од 100 за да добиете 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Комбинирајте 4x^{2} и x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Одземете 2x од двете страни.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Комбинирајте 12x и -2x за да добиете 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Додај 216 на двете страни.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Соберете 99 и 216 за да добиете 315.

$$5x^{2}+10x=315$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Делење на 10 со 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Делење на 315 со 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Поделете го 2, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 1. Потоа додајте го квадратот од 1 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Квадрат од 1.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Собирање на 63 и 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Фактор x^{2}+2x+1. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Поедноставување.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$x=7 x=-9$$