Решете (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Додај 10x на двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Комбинирајте 4x и 10x за да добиете 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Одземете 25 од двете страни.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Одземете 25 од 1 за да добиете -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-24. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решението е парот што дава збир 14.

$$a=-4 b=18$$

Препиши го 3x^{2}+14x-24 како \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 6 во втората група.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-4=0 и x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Додај 10x на двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Комбинирајте 4x и 10x за да добиете 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Одземете 25 од двете страни.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Одземете 25 од 1 за да добиете -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 14 за b и -24 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Собирање на 196 и 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-14±22}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -14 и 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{8}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-14±22}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 22 од -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Делење на -36 со 6.

$$x=-6$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Додај 10x на двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Комбинирајте 4x и 10x за да добиете 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Одземете 1 од двете страни.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Одземете 1 од 25 за да добиете 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Делење на 24 со 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Поделете го \frac{14}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Собирање на 8 и \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Одземање на \frac{7}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$