Решете (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Пресметајте колку е 100 на степен од 2 и добијте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Соберете 10000 и 10000 за да добиете 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Одземете 400x од двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Комбинирајте 200x и -400x за да добиете -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Одземете 10000 од двете страни.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Одземете 10000 од 20000 за да добиете 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -3x^{2}+ax+bx+10000. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Решението е парот што дава збир -200.

$$a=100 b=-300$$

Препиши го -3x^{2}-200x+10000 како \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и -100 во втората група.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-100 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-100=0 и -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Пресметајте колку е 100 на степен од 2 и добијте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Соберете 10000 и 10000 за да добиете 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Одземете 400x од двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Комбинирајте 200x и -400x за да добиете -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Одземете 10000 од двете страни.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Одземете 10000 од 20000 за да добиете 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, -200 за b и 10000 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 12 со 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 40000 и 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Спротивно на -200 е 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{200±400}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 200 и 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Делење на 600 со -6.

$$x=-100$$

Сега решете ја равенката x=\frac{200±400}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 400 од 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Намалете ја дропката \frac{-200}{-6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Пресметајте колку е 100 на степен од 2 и добијте 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Соберете 10000 и 10000 за да добиете 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Одземете 400x од двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Комбинирајте 200x и -400x за да добиете -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Одземете 20000 од двете страни.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Одземете 20000 од 10000 за да добиете -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Делење на -200 со -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Делење на -10000 со -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Поделете го \frac{200}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{100}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{100}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{100}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Соберете ги \frac{10000}{3} и \frac{10000}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Одземање на \frac{100}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$