Решете x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}-x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -1 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Собирање на 1 и 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{5} од 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$x^{2}-x=1$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Собирање на 1 и \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$