Решете x^2-14x+65=25

$${ x }^{ 2 } -14x+65=25$$

Реши за x

$$x=4$$

$$x=10$$

Чекори за употреба на факторирање

Одземете 25 од двете страни.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Одземете 25 од 65 за да добиете 40.

$$x^{2}-14x+40=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте x^{2}-14x+40 со помош на формулата x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-14 ab=40$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Решението е парот што дава збир -14.

$$a=-10 b=-4$$

Препишете го факторираниот израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-10=0 и x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 25 од двете страни.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Одземете 25 од 65 за да добиете 40.

$$x^{2}-14x+40=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx+40. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Решението е парот што дава збир -14.

$$a=-10 b=-4$$

Препиши го x^{2}-14x+40 како \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и -4 во втората група.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-10 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-10=0 и x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}-14x+65=25$$

Одземање на 25 од двете страни на равенката.

$$x^{2}-14x+65-25=25-25$$

Ако одземете 25 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Одземање на 25 од 65.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -14 за b и 40 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Квадрат од -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Множење на -4 со 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Собирање на 196 и -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±6}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Делење на 20 со 2.

$$x=10$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±6}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 6 од 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Делење на 8 со 2.

$$x=4$$

Равенката сега е решена.

$$x=10 x=4$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+65=25$$

Одземање на 65 од двете страни на равенката.

$$x^{2}-14x+65-65=25-65$$

Ако одземете 65 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}-14x=25-65$$

Одземање на 65 од 25.

$$x^{2}-14x=-40$$

Поделете го -14, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -7. Потоа додајте го квадратот од -7 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Квадрат од -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Собирање на -40 и 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Фактор x^{2}-14x+49. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Поедноставување.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$x=10 x=4$$