Решете x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, 5 за b и 7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Квадрат од 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Множење на -4 со 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Собирање на 25 и -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Вадење квадратен корен од -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -5 и i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{3} од -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Одземање на 7 од двете страни на равенката.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Ако одземете 7 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Поделете го 5, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Собирање на -7 и \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Фактор x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Одземање на \frac{5}{2} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$