Решете {left(x-1/xright)}^2=20

$${ \left(x- \frac{ 1 }{ x } \right) }^{ 2 } =20$$

Реши за x

$$x=\sqrt{5}-\sqrt{6}\approx -0,213421765$$

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6}\approx 4,68555772$$

$$x=\sqrt{6}-\sqrt{5}\approx 0,213421765$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)\approx -4,68555772$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

За собирање или одземање изрази, проширете ги за да им ги направите именителите исти. Множење на x со \frac{x}{x}.

$$\left(\frac{xx}{x}-\frac{1}{x}\right)^{2}=20$$

Бидејќи \frac{xx}{x} и \frac{1}{x} имаат ист именител, одземете ги со одземање на нивните именители.

$$\left(\frac{xx-1}{x}\right)^{2}=20$$

Множете во xx-1.

$$\left(\frac{x^{2}-1}{x}\right)^{2}=20$$

За да се подигне \frac{x^{2}-1}{x} на степен, подигнете ги и броителот и именителот на тој степен и потоа поделете.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}=20$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

Одземете 20 од двете страни.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-20=0$$

За собирање или одземање изрази, проширете ги за да им ги направите именителите исти. Множење на 20 со \frac{x^{2}}{x^{2}}.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-\frac{20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Бидејќи \frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}} и \frac{20x^{2}}{x^{2}} имаат ист именител, одземете ги со одземање на нивните именители.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Комбинирајте слични термини во x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}.

$$\frac{x^{4}-22x^{2}+1}{x^{2}}=0$$

Променливата x не може да биде еднаква на 0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со x^{2}.

$$x^{4}-22x^{2}+1=0$$

Заменете го t со x^{2}.

$$t^{2}-22t+1=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 1 со a, -22 со b и 1 со c во квадратната формула.

$$t=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Пресметајте.

$$t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2}$$

Решете ја равенката t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2} кога ± е плус и кога ± е минус.

$$t=2\sqrt{30}+11 t=11-2\sqrt{30}$$

Бидејќи x=t^{2}, решенијата се добиваат со пресметување на x=±\sqrt{t} за секоја вредност на t.

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6} x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right) x=-\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right) x=\sqrt{5}-\sqrt{6}$$