Решете sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Чекори за решение

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{x} на степен од 2 и добијте x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Додај 2x на двете страни.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Комбинирајте x и 2x за да добиете 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Одземете 1 од двете страни.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, 3 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 9 и -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -3 и \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Делење на -3+\sqrt{5} со -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{5} од -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Делење на -3-\sqrt{5} со -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Заменете го \frac{3-\sqrt{5}}{2} со x во равенката \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Поедноставување. Вредноста x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} не одговара на равенката бидејќи од левата и од десната страна има спротивни знаци.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Заменете го \frac{\sqrt{5}+3}{2} со x во равенката \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Поедноставување. Вредноста x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} одговара на равенката.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Равенката \sqrt{x}=x-1 има единствено решение.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$