Решете sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Чекори за решение

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{x^{2}-1} на степен од 2 и добијте x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{2x+1} на степен од 2 и добијте 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Одземете 2x од двете страни.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Одземете 1 од двете страни.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Одземете 1 од -1 за да добиете -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -2 за b и -2 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Квадрат од -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Собирање на 4 и 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Спротивно на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2 и 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Делење на 2+2\sqrt{3} со 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{3} од 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Делење на 2-2\sqrt{3} со 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Заменете го \sqrt{3}+1 со x во равенката \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Поедноставување. Вредноста x=\sqrt{3}+1 одговара на равенката.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Заменете го 1-\sqrt{3} со x во равенката \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Поедноставување. Вредноста x=1-\sqrt{3} одговара на равенката.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Список на сите решенија на \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Реши за x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Чекори за решение

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{x^{2}-1} на степен од 2 и добијте x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{2x+1} на степен од 2 и добијте 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Одземете 2x од двете страни.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Одземете 1 од двете страни.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Одземете 1 од -1 за да добиете -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -2 за b и -2 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Квадрат од -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Собирање на 4 и 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Спротивно на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2 и 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Делење на 2+2\sqrt{3} со 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{3} од 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Делење на 2-2\sqrt{3} со 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Заменете го \sqrt{3}+1 со x во равенката \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Поедноставување. Вредноста x=\sqrt{3}+1 одговара на равенката.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Заменете го 1-\sqrt{3} со x во равенката \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Изразот \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} е недефиниран бидејќи радикандот не може да биде негативен.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Равенката \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} има единствено решение.

$$x=\sqrt{3}+1$$