Решете sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Реши за x

$$x=2$$

Чекори за решение

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{5x-1} на степен од 2 и добијте 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{3x-2} на степен од 2 и добијте 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Комбинирајте 5x и 3x за да добиете 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Одземете 2 од -1 за да добиете -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{x-1} на степен од 2 и добијте x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Одземање на 8x-3 од двете страни на равенката.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

За да го најдете спротивното на 8x-3, најдете го спротивното на секој термин.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Комбинирајте x и -8x за да добиете -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Соберете -1 и 3 за да добиете 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Зголемување на \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Пресметајте колку е -2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{5x-1} на степен од 2 и добијте 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{3x-2} на степен од 2 и добијте 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Применете го дистрибутивното својство со помножување на секој термин од 20x-4 со секој термин од 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Комбинирајте -40x и -12x за да добиете -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Одземете 49x^{2} од двете страни.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Комбинирајте 60x^{2} и -49x^{2} за да добиете 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Додај 28x на двете страни.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Комбинирајте -52x и 28x за да добиете -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Одземете 4 од двете страни.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Одземете 4 од 8 за да добиете 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 11x^{2}+ax+bx+4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Решението е парот што дава збир -24.

$$a=-22 b=-2$$

Препиши го 11x^{2}-24x+4 како \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Исклучете го факторот 11x во првата група и -2 во втората група.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-2=0 и 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Заменете го \frac{2}{11} со x во равенката \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Изразот \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} е недефиниран бидејќи радикандот не може да биде негативен.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Заменете го 2 со x во равенката \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Поедноставување. Вредноста x=2 одговара на равенката.

$$1=1$$

Равенката \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} има единствено решение.

$$x=2$$