Решете sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Реши за x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Чекори за решение

Одземање на -\sqrt{15+x^{2}} од двете страни на равенката.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{25-x^{2}} на степен од 2 и добијте 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{15+x^{2}} на степен од 2 и добијте 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Соберете 16 и 15 за да добиете 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Одземање на 31+x^{2} од двете страни на равенката.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

За да го најдете спротивното на 31+x^{2}, најдете го спротивното на секој термин.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Одземете 31 од 25 за да добиете -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Комбинирајте -x^{2} и -x^{2} за да добиете -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Кревање на двете страни на равенката на квадрат.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Зголемување на \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 8 на степен од 2 и добијте 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Пресметајте колку е \sqrt{15+x^{2}} на степен од 2 и добијте 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 64 со 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Одземете 960 од двете страни.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Одземете 960 од 36 за да добиете -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Одземете 64x^{2} од двете страни.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Комбинирајте 24x^{2} и -64x^{2} за да добиете -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Заменете го t со x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 4 со a, -40 со b и -924 со c во квадратната формула.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Пресметајте.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Решете ја равенката t=\frac{40±128}{8} кога ± е плус и кога ± е минус.

$$t=21 t=-11$$

Бидејќи x=t^{2}, решенијата се добиваат со пресметување на x=±\sqrt{t} за секоја вредност на t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Заменете го -\sqrt{21} со x во равенката \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Поедноставување. Вредноста x=-\sqrt{21} не одговара на равенката бидејќи од левата и од десната страна има спротивни знаци.

$$-4=4$$

Заменете го \sqrt{21} со x во равенката \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Поедноставување. Вредноста x=\sqrt{21} не одговара на равенката бидејќи од левата и од десната страна има спротивни знаци.

$$-4=4$$

Заменете го -\sqrt{11}i со x во равенката \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Поедноставување. Вредноста x=-\sqrt{11}i одговара на равенката.

$$4=4$$

Заменете го \sqrt{11}i со x во равенката \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Поедноставување. Вредноста x=\sqrt{11}i одговара на равенката.

$$4=4$$

Список на сите решенија на \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$