Решете sin(x)

$$\sin ( x )$$

Диференцирај во однос на x

$$\cos(x)$$

Чекори за користење на дефиницијата за деривати

За функцијата f\left(x\right), дериватот е лимитот на \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} бидејќи h оди до 0 ако тој лимит постои.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Користете ја формулата за собирање за синус.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Исклучување на вредноста на факторот \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Препишете го лимитот.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Користете го фактот дека x е константа при пресметување на лимитите бидејќи h оди до 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Лимитот \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} е 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

За да го процените лимитот \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, прво помножете ги броителот и именителот со \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Множење на \cos(h)+1 со \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Користете го питагоровиот идентитет.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Препишете го лимитот.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Лимитот \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} е 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Користете го фактот дека \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} е постојан на 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Заменете ја вредноста 0 во изразот \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Процени

$$\sin(x)$$