Решете {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Реши за y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 3x од двете страни.

$$y-3x=0$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-3x=0$$

Додавање на 3x на двете страни на равенката.

$$y=3x$$

Заменете го y со 3x во другата равенка, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Собирање на 3x и x.

$$4x=16$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x=4$$

Заменете го x со 4 во y=3x. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=3\times 4$$

Множење на 3 со 4.

$$y=12$$

Системот е решен сега.

$$y=12,x=4$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 3x од двете страни.

$$y-3x=0$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=12,x=4$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 3x од двете страни.

$$y-3x=0$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Одземете y+x=16 од y-3x=0 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$y-y-3x-x=-16$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-3x-x=-16$$

Собирање на -3x и -x.

$$-4x=-16$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$x=4$$

Заменете го x со 4 во y+x=16. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y+4=16$$

Одземање на 4 од двете страни на равенката.

$$y=12$$

Системот е решен сега.

$$y=12,x=4$$