Решете {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Реши за x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Додај y на двете страни.

$$x+y=0$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$x+y=0$$

Одземање на y од двете страни на равенката.

$$x=-y$$

Заменете го x со -y во другата равенка, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Множење на 2 со -y.

$$-2y+y=5$$

Собирање на -2y и y.

$$-y=5$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$y=-5$$

Заменете го y со -5 во x=-y. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Множење на -1 со -5.

$$x=5$$

Системот е решен сега.

$$x=5,y=-5$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Додај y на двете страни.

$$x+y=0$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=5,y=-5$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Додај y на двете страни.

$$x+y=0$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Одземете 2x+y=5 од x+y=0 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$x-2x+y-y=-5$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$x-2x=-5$$

Собирање на x и -2x.

$$-x=-5$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$x=5$$

Заменете го x со 5 во 2x+y=5. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$2\times 5+y=5$$

Множење на 2 со 5.

$$10+y=5$$

Одземање на 10 од двете страни на равенката.

$$y=-5$$

Системот е решен сега.

$$x=5,y=-5$$