Решете {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Реши за x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=-5$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$x+2y=1$$

Одземање на 2y од двете страни на равенката.

$$x=-2y+1$$

Заменете го x со -2y+1 во другата равенка, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Собирање на -2y и -y.

$$-3y+1=-5$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$-3y=-6$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$y=2$$

Заменете го y со 2 во x=-2y+1. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=-2\times 2+1$$

Множење на -2 со 2.

$$x=-4+1$$

Собирање на 1 и -4.

$$x=-3$$

Системот е решен сега.

$$x=-3,y=2$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=-5$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=-3,y=2$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=-5$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Одземете x-y=-5 од x+2y=1 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Собирање на x и -x. Термините x и -x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$2y+y=1+5$$

Собирање на 2y и y.

$$3y=1+5$$

Собирање на 1 и 5.

$$3y=6$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$y=2$$

Заменете го y со 2 во x-y=-5. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x-2=-5$$

Додавање на 2 на двете страни на равенката.

$$x=-3$$

Системот е решен сега.

$$x=-3,y=2$$