Решете ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Процени

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Чекори за решение

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Пресметајте колку е \sqrt{x} на степен од 2 и добијте x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

За да го најдете спротивното на 16-8\sqrt{x}+x, најдете го спротивното на секој термин.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Одземете 16 од 6 за да добиете -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Прво проценете го неопределениот интеграл.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Интегрирајте го збирот на термини по термин.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Факторирајте ја константата во секој од термините.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Најдете го интегралот од -10 користејќи го правилото на табелата на заеднички интеграли \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Препиши го \sqrt{x} како x^{\frac{1}{2}}. Од \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x со \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Поедноставување. Множење на 8 со \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Од \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int x\mathrm{d}x со \frac{x^{2}}{2}. Множење на -1 со \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Поедноставување.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Определениот интеграл е антидериват од изразот проценет на погорниот лимит на интеграција минус антидериватот проценет на подолниот лимит на интеграција.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Поедноставување.

$$-\frac{16}{3}$$