Решете ∫ 5v(v^2+2)^2dv

$$\int 5 v ( v ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } d v$$

Процени

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Чекори за решение

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(v^{2}+2\right)^{2}.

$$\int 5v\left(\left(v^{2}\right)^{2}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$\int 5v\left(v^{4}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 5v со v^{4}+4v^{2}+4.

$$\int 5v^{5}+20v^{3}+20v\mathrm{d}v$$

Интегрирајте го збирот на термини по термин.

$$\int 5v^{5}\mathrm{d}v+\int 20v^{3}\mathrm{d}v+\int 20v\mathrm{d}v$$

Факторирајте ја константата во секој од термините.

$$5\int v^{5}\mathrm{d}v+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Од \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int v^{5}\mathrm{d}v со \frac{v^{6}}{6}. Множење на 5 со \frac{v^{6}}{6}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Од \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int v^{3}\mathrm{d}v со \frac{v^{4}}{4}. Множење на 20 со \frac{v^{4}}{4}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+20\int v\mathrm{d}v$$

Од \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int v\mathrm{d}v со \frac{v^{2}}{2}. Множење на 20 со \frac{v^{2}}{2}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}$$

Ако F\left(v\right) е антидериват од f\left(v\right), тогаш збирот на сите антидеривати од f\left(v\right) е даден од F\left(v\right)+C. Според тоа, додадете ја константата на интеграција C\in \mathrm{R} во резултатот.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Диференцирај во однос на v

$$5v\left(v^{2}+2\right)^{2}$$