Решете 1/2x^2+2x+5=0

$$\frac{ 1 }{ 2 } { x }^{ 2 } +2x+5=0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=-2+\sqrt{6}i\approx -2+2,449489743i$$

$$x=-\sqrt{6}i-2\approx -2-2,449489743i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$\frac{1}{2}x^{2}+2x+5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете \frac{1}{2} за a, 2 за b и 5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 5}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Квадрат од 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times \frac{1}{2}\times 5}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Множење на -4 со \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-2\times 5}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Множење на -2 со 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-10}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Собирање на 4 и -10.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-6}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Вадење квадратен корен од -6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{6}i}{2\times \frac{1}{2}}$$

Множење на 2 со \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{6}i}{1}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±\sqrt{6}i}{1} кога ± ќе биде плус. Собирање на -2 и i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{6}i}{1}$$

Делење на -2+i\sqrt{6} со 1.

$$x=-2+\sqrt{6}i$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±\sqrt{6}i}{1} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{6} од -2.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-2}{1}$$

Делење на -2-i\sqrt{6} со 1.

$$x=-\sqrt{6}i-2$$

Равенката сега е решена.

$$x=-2+\sqrt{6}i x=-\sqrt{6}i-2$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}+2x+5=0$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$\frac{1}{2}x^{2}+2x+5-5=-5$$

Ако одземете 5 од истиот број, ќе остане 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+2x=-5$$

Помножете ги двете страни со 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+2x}{\frac{1}{2}}=-\frac{5}{\frac{1}{2}}$$

Ако поделите со \frac{1}{2}, ќе се врати множењето со \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{2}{\frac{1}{2}}x=-\frac{5}{\frac{1}{2}}$$

Поделете го 2 со \frac{1}{2} со множење на 2 со реципрочната вредност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}+4x=-\frac{5}{\frac{1}{2}}$$

Поделете го -5 со \frac{1}{2} со множење на -5 со реципрочната вредност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}+4x=-10$$

Поделете го 4, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 2. Потоа додајте го квадратот од 2 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-10+2^{2}$$

Квадрат од 2.

$$x^{2}+4x+4=-10+4$$

Собирање на -10 и 4.

$$x^{2}+4x+4=-6$$

Фактор x^{2}+4x+4. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-6$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-6}$$

Поедноставување.

$$x+2=\sqrt{6}i x+2=-\sqrt{6}i$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$x=-2+\sqrt{6}i x=-\sqrt{6}i-2$$