Решете x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Реши за x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 21, најмалиот заеднички содржател на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 14.

$$-x+42y=364$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$3x+7y=105$$

Одземање на 7y од двете страни на равенката.

$$3x=-7y+105$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Множење на \frac{1}{3} со -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Заменете го x со -\frac{7y}{3}+35 во другата равенка, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Множење на -1 со -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Собирање на \frac{7y}{3} и 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Додавање на 35 на двете страни на равенката.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Делење на двете страни на равенката со \frac{133}{3}, што е исто како множење на двете страни со реципрочната вредност на дропката.

$$y=9$$

Заменете го y со 9 во x=-\frac{7}{3}y+35. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Множење на -\frac{7}{3} со 9.

$$x=-21+35$$

Собирање на 35 и -21.

$$x=14$$

Системот е решен сега.

$$x=14,y=9$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 21, најмалиот заеднички содржател на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 14.

$$-x+42y=364$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=14,y=9$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 21, најмалиот заеднички содржател на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 14.

$$-x+42y=364$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

За да ги направите 3x и -x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со -1 и сите членови од двете страни на втората со 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Поедноставување.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Одземете -3x+126y=1092 од -3x-7y=-105 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Собирање на -3x и 3x. Термините -3x и 3x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Собирање на -7y и -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Собирање на -105 и -1092.

$$-133y=-1197$$

Поделете ги двете страни со -133.

$$y=9$$

Заменете го y со 9 во -x+42y=364. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$-x+42\times 9=364$$

Множење на 42 со 9.

$$-x+378=364$$

Одземање на 378 од двете страни на равенката.

$$-x=-14$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$x=14$$

Системот е решен сега.

$$x=14,y=9$$