Решете x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Реши за x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 20, најмалиот заеднички содржател на 5,4.

$$4x=5y$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Множење на \frac{1}{4} со 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Заменете го x со \frac{5y}{4} во другата равенка, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Собирање на -\frac{5y}{4} и y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Помножете ги двете страни со -4.

$$y=12$$

Заменете го y со 12 во x=\frac{5}{4}y. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Множење на \frac{5}{4} со 12.

$$x=15$$

Системот е решен сега.

$$x=15,y=12$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 20, најмалиот заеднички содржател на 5,4.

$$4x=5y$$

Одземете 5y од двете страни.

$$4x-5y=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 3.

$$y=x-3$$

Одземете x од двете страни.

$$y-x=-3$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=15,y=12$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 20, најмалиот заеднички содржател на 5,4.

$$4x=5y$$

Одземете 5y од двете страни.

$$4x-5y=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 3.

$$y=x-3$$

Одземете x од двете страни.

$$y-x=-3$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

За да ги направите 4x и -x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со -1 и сите членови од двете страни на втората со 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Поедноставување.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Одземете -4x+4y=-12 од -4x+5y=0 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Собирање на -4x и 4x. Термините -4x и 4x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$5y-4y=12$$

Собирање на 5y и -4y.

$$y=12$$

Заменете го y со 12 во -x+y=-3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$-x+12=-3$$

Одземање на 12 од двете страни на равенката.

$$-x=-15$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$x=15$$

Системот е решен сега.

$$x=15,y=12$$