Решете 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Реши за x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -15,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 4x\left(x+15\right), најмалиот заеднички содржател на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x+60 со 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и 75 за да добиете 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и \frac{1}{4} за да добиете 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Комбинирајте 300x и 15x за да добиете 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Одземете 315x од двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Комбинирајте 300x и -315x за да добиете -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx+4500. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Решението е парот што дава збир -15.

$$a=60 b=-75$$

Препиши го -x^{2}-15x+4500 како \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 75 во втората група.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин -x+60 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги -x+60=0 и x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -15,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 4x\left(x+15\right), најмалиот заеднички содржател на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x+60 со 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и 75 за да добиете 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и \frac{1}{4} за да добиете 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Комбинирајте 300x и 15x за да добиете 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Одземете 315x од двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Комбинирајте 300x и -315x за да добиете -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, -15 за b и 4500 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 225 и 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Вадење квадратен корен од 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Спротивно на -15 е 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±135}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 15 и 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Делење на 150 со -2.

$$x=-75$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±135}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 135 од 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Делење на -120 со -2.

$$x=60$$

Равенката сега е решена.

$$x=-75 x=60$$

Чекори за пополнување на квадратот

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -15,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 4x\left(x+15\right), најмалиот заеднички содржател на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x+60 со 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и 75 за да добиете 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножете 4 и \frac{1}{4} за да добиете 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Комбинирајте 300x и 15x за да добиете 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Одземете 315x од двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Комбинирајте 300x и -315x за да добиете -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Одземете 4500 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Ако поделите со -1, ќе се врати множењето со -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Делење на -15 со -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Делење на -4500 со -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Поделете го 15, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{15}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{15}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{15}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Собирање на 4500 и \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Фактор x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Одземање на \frac{15}{2} од двете страни на равенката.

$$x=60 x=-75$$