Решете 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Реши за x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$3x+2y=22$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$2x+y=14$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$3x+2y=22$$

Одземање на 2y од двете страни на равенката.

$$3x=-2y+22$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Множење на \frac{1}{3} со -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Заменете го x со \frac{-2y+22}{3} во другата равенка, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Множење на 2 со \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Собирање на -\frac{4y}{3} и y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Одземање на \frac{44}{3} од двете страни на равенката.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Помножете ги двете страни со -3.

$$y=2$$

Заменете го y со 2 во x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Множење на -\frac{2}{3} со 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Соберете ги \frac{22}{3} и -\frac{4}{3} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x=6$$

Системот е решен сега.

$$x=6,y=2$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$3x+2y=22$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$2x+y=14$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=6,y=2$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$3x+2y=22$$

Земете ја предвид втората равенка. Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$2x+y=14$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

За да ги направите 3x и 2x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со 2 и сите членови од двете страни на втората со 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Поедноставување.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Одземете 6x+3y=42 од 6x+4y=44 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Собирање на 6x и -6x. Термините 6x и -6x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$4y-3y=44-42$$

Собирање на 4y и -3y.

$$y=44-42$$

Собирање на 44 и -42.

$$y=2$$

Заменете го y со 2 во 2x+y=14. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$2x+2=14$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$2x=12$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=6$$

Системот е решен сега.

$$x=6,y=2$$