Решете 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Реши за x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -40,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 48x\left(x+40\right), најмалиот заеднички содржател на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Комбинирајте 48x и 48x за да добиете 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Одземете 40x од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Комбинирајте 96x и -40x за да добиете 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx+1920. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Решението е парот што дава збир 56.

$$a=80 b=-24$$

Препиши го -x^{2}+56x+1920 како \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и -24 во втората група.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-80 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-80=0 и -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -40,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 48x\left(x+40\right), најмалиот заеднички содржател на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Комбинирајте 48x и 48x за да добиете 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Одземете 40x од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Комбинирајте 96x и -40x за да добиете 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, 56 за b и 1920 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 3136 и 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Вадење квадратен корен од 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-56±104}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -56 и 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Делење на 48 со -2.

$$x=-24$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-56±104}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 104 од -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Делење на -160 со -2.

$$x=80$$

Равенката сега е решена.

$$x=-24 x=80$$

Чекори за пополнување на квадратот

Променливата x не може да биде еднаква на вредностите -40,0 бидејќи делењето со нула не е дефинирано. Помножете ги двете страни на равенката со 48x\left(x+40\right), најмалиот заеднички содржател на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Комбинирајте 48x и 48x за да добиете 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Одземете x^{2} од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Одземете 40x од двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Комбинирајте 96x и -40x за да добиете 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Одземете 1920 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Ако поделите со -1, ќе се врати множењето со -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Делење на 56 со -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Делење на -1920 со -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Поделете го -56, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -28. Потоа додајте го квадратот од -28 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Квадрат од -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Собирање на 1920 и 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Фактор x^{2}-56x+784. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Поедноставување.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Додавање на 28 на двете страни на равенката.

$$x=80 x=-24$$