Решете frac{sqrt{12}+sqrt{6}+sqrt{2}+2}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 12 } + \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } + 2 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Процени

$$\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

Чекори за решение

Факторирање на 12=2^{2}\times 3. Препишете го квадратниот корен од множењето \sqrt{2^{2}\times 3} како производ на квадратните корени \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Вадење квадратен корен од 2^{2}.

$$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1}$$

Рационализирајте го именителот на \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1} со множење на броителот и именителот со \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Запомнете, \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Квадрат од \sqrt{3}. Квадрат од 1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Одземете 1 од 3 за да добиете 2.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Применете го дистрибутивното својство со помножување на секој термин од 2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2 со секој термин од \sqrt{3}-1.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$\frac{2\times 3-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Помножете 2 и 3 за да добиете 6.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Факторирање на 6=3\times 2. Препишете го квадратниот корен од множењето \sqrt{3\times 2} како производ на квадратните корени \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Помножете \sqrt{3} и \sqrt{3} за да добиете 3.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

За да ги помножите \sqrt{2} и \sqrt{3}, помножете ги броевите под квадратниот корен.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Комбинирајте -\sqrt{6} и \sqrt{6} за да добиете 0.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Комбинирајте 3\sqrt{2} и -\sqrt{2} за да добиете 2\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Комбинирајте -2\sqrt{3} и 2\sqrt{3} за да добиете 0.

$$\frac{6+2\sqrt{2}-2}{2}$$

Одземете 2 од 6 за да добиете 4.

$$\frac{4+2\sqrt{2}}{2}$$

Поделете го секој член од 4+2\sqrt{2} со 2 за да добиете 2+\sqrt{2}.

$$2+\sqrt{2}$$