Atrisiniet x^2-3x-108=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

Atrast x

$$x=-9$$

$$x=12$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, x^{2}-3x-108, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-3 ab=-108$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -3.

$$a=-12 b=9$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-12=0 un x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-108. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -3.

$$a=-12 b=9$$

Pārrakstiet x^{2}-3x-108 kā \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Sadaliet x pirmo un 9 otrajā grupā.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-12 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-12=0 un x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -3 un c ar -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

Kāpiniet -3 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Pieskaitiet 9 pie 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Skaitļa -3 pretstats ir 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±21}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 3 pie 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Daliet 24 ar 2.

$$x=12$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±21}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 21 no 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Daliet -18 ar 2.

$$x=-9$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=12 x=-9$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Pieskaitiet 108 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Atņemot -108 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

Atņemiet -108 no 0.

$$x^{2}-3x=108$$

Daliet locekļa x koeficientu -3 ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 108 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=12 x=-9$$