Atrisiniet 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Atrast x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 25 no abām pusēm.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Atņemiet 25 no 9, lai iegūtu -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 9x^{2}+ax+bx-16. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-9 b=16$$

Pārrakstiet 9x^{2}+7x-16 kā \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Sadaliet 9x pirmo un 16 otrajā grupā.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-1=0 un 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Atņemiet 25 no vienādojuma abām pusēm.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Atņemot 25 no sevis, paliek 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Atņemiet 25 no 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 9, b ar 7 un c ar -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Reiziniet -4 reiz 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Reiziniet -36 reiz -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Pieskaitiet 49 pie 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Reiziniet 2 reiz 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±25}{18}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Daliet 18 ar 18.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±25}{18}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 25 no -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-32}{18} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Atņemot 9 no sevis, paliek 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Atņemiet 9 no 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Daliet abas puses ar 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Dalīšana ar 9 atsauc reizināšanu ar 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{7}{9} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{18}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{18} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{18}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Pieskaitiet \frac{16}{9} pie \frac{49}{324}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Atņemiet \frac{7}{18} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$