Atrisiniet 9y^2=12y-4

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

Atrast y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 12y no abām pusēm.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Pievienot 4 abās pusēs.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 9y^{2}+ay+by+4. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -12.

$$a=-6 b=-6$$

Pārrakstiet 9y^{2}-12y+4 kā \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Sadaliet 3y pirmo un -2 otrajā grupā.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3y-2 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 3y-2=0.

$$y=\frac{2}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 12y no abām pusēm.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Pievienot 4 abās pusēs.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 9, b ar -12 un c ar 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kāpiniet -12 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Reiziniet -4 reiz 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Reiziniet -36 reiz 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Pieskaitiet 144 pie -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Skaitļa -12 pretstats ir 12.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

Reiziniet 2 reiz 9.

$$y=\frac{12}{18}$$

Vienādot daļskaitli \frac{12}{18} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 12y no abām pusēm.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Daliet abas puses ar 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Dalīšana ar 9 atsauc reizināšanu ar 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-12}{9} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{4}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{2}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{2}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{2}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Pieskaitiet -\frac{4}{9} pie \frac{4}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

Pieskaitiet \frac{2}{3} abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$y=\frac{2}{3}$$