Atrisiniet 8x+6x(11-x)=100

$$8 x + 6 x ( 11 - x ) = 100$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{769} + 37}{6} \approx 10,788474875$$

$$x = \frac{37 - \sqrt{769}}{6} \approx 1,544858459$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 6x ar 11-x.

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

Savelciet 8x un 66x, lai iegūtu 74x.

$$74x-6x^{2}=100$$

Atņemiet 100 no abām pusēm.

$$74x-6x^{2}-100=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-6x^{2}+74x-100=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -6, b ar 74 un c ar -100.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kāpiniet 74 kvadrātā.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -6.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476+24\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet 24 reiz -100.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-2400}}{2\left(-6\right)}$$

Pieskaitiet 5476 pie -2400.

$$x=\frac{-74±\sqrt{3076}}{2\left(-6\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 3076.

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -6.

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -74 pie 2\sqrt{769}.

$$x=\frac{2\sqrt{769}-74}{-12}$$

Daliet -74+2\sqrt{769} ar -12.

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{769} no -74.

$$x=\frac{-2\sqrt{769}-74}{-12}$$

Daliet -74-2\sqrt{769} ar -12.

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6} x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 6x ar 11-x.

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

Savelciet 8x un 66x, lai iegūtu 74x.

$$74x-6x^{2}=100$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+74x=100$$

Daliet abas puses ar -6.

$$\frac{-6x^{2}+74x}{-6}=\frac{100}{-6}$$

Dalīšana ar -6 atsauc reizināšanu ar -6.

$$x^{2}+\frac{74}{-6}x=\frac{100}{-6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{74}{-6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=\frac{100}{-6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{100}{-6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=-\frac{50}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{37}{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{37}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{37}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}=-\frac{50}{3}+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{37}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=-\frac{50}{3}+\frac{1369}{36}$$

Pieskaitiet -\frac{50}{3} pie \frac{1369}{36}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=\frac{769}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}=\frac{769}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{769}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{37}{6}=\frac{\sqrt{769}}{6} x-\frac{37}{6}=-\frac{\sqrt{769}}{6}$$

Pieskaitiet \frac{37}{6} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6} x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$