Atrisiniet 69x^2-38x+5=0

$$69 { x }^{ 2 } -38x+5=0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{5}{23}\approx 0,217391304$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 69x^{2}+ax+bx+5. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-38 ab=69\times 5=345$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 345.

$$-1,-345 -3,-115 -5,-69 -15,-23$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-345=-346 -3-115=-118 -5-69=-74 -15-23=-38$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -38.

$$a=-23 b=-15$$

Pārrakstiet 69x^{2}-38x+5 kā \left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right).

$$\left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right)$$

Sadaliet 23x pirmo un -5 otrajā grupā.

$$23x\left(3x-1\right)-5\left(3x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-1\right)\left(23x-5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x-1=0 un 23x-5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 69, b ar -38 un c ar 5.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Kāpiniet -38 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Reiziniet -4 reiz 69.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-276\times 5}}{2\times 69}$$

Reiziniet -276 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1380}}{2\times 69}$$

Pieskaitiet 1444 pie -1380.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{64}}{2\times 69}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 64.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±8}{2\times 69}$$

Skaitļa -38 pretstats ir 38.

$$x=\frac{38±8}{2\times 69}$$

Reiziniet 2 reiz 69.

$$x=\frac{38±8}{138}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{38±8}{138}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 38 pie 8.

$$x=\frac{46}{138}$$

Vienādot daļskaitli \frac{46}{138} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 46.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{38±8}{138}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8 no 38.

$$x=\frac{30}{138}$$

Vienādot daļskaitli \frac{30}{138} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=\frac{5}{23}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Atņemiet 5 no vienādojuma abām pusēm.

$$69x^{2}-38x+5-5=-5$$

Atņemot 5 no sevis, paliek 0.

$$69x^{2}-38x=-5$$

Daliet abas puses ar 69.

$$\frac{69x^{2}-38x}{69}=-\frac{5}{69}$$

Dalīšana ar 69 atsauc reizināšanu ar 69.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x=-\frac{5}{69}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{38}{69} ar 2, lai iegūtu -\frac{19}{69}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{19}{69} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}=-\frac{5}{69}+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{19}{69}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=-\frac{5}{69}+\frac{361}{4761}$$

Pieskaitiet -\frac{5}{69} pie \frac{361}{4761}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=\frac{16}{4761}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}=\frac{16}{4761}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{4761}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{19}{69}=\frac{4}{69} x-\frac{19}{69}=-\frac{4}{69}$$

Pieskaitiet \frac{19}{69} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$