Atrisiniet 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0,070093458-1,0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0,070093458+1,0022139i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 108 no abām pusēm.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Pievienot x abās pusēs.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -8x ar 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Savelciet 5x^{2} un -112x^{2}, lai iegūtu -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Savelciet -16x un x, lai iegūtu -15x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -107, b ar -15 un c ar -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Kāpiniet -15 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Reiziniet 428 reiz -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Pieskaitiet 225 pie -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -45999.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Skaitļa -15 pretstats ir 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 15 pie 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Daliet 15+3i\sqrt{5111} ar -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3i\sqrt{5111} no 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Daliet 15-3i\sqrt{5111} ar -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Pievienot x abās pusēs.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -8x ar 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Savelciet 5x^{2} un -112x^{2}, lai iegūtu -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Savelciet -16x un x, lai iegūtu -15x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Daliet abas puses ar -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Dalīšana ar -107 atsauc reizināšanu ar -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Daliet -15 ar -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Daliet 108 ar -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{15}{107} ar 2, lai iegūtu \frac{15}{214}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{15}{214} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{15}{214}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Pieskaitiet -\frac{108}{107} pie \frac{225}{45796}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Atņemiet \frac{15}{214} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$