Atrisiniet 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Atrast x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Savelciet 40x un 60x, lai iegūtu 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Atņemiet 200 no abām pusēm.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar 100 un c ar -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet 100 kvadrātā.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 16 reiz -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 10000 pie -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -100 pie 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Daliet -100+20\sqrt{17} ar -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 20\sqrt{17} no -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Daliet -100-20\sqrt{17} ar -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Savelciet 40x un 60x, lai iegūtu 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Daliet 100 ar -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Daliet 200 ar -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Daliet locekļa x koeficientu -25 ar 2, lai iegūtu -\frac{25}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{25}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{25}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Pieskaitiet -50 pie \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{25}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$