Atrisiniet 4x-3y=1text{and}x+2y=3

$$4 x - 3 y = 1 \text { and } x + 2 y = 3$$

Atrast x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-3y=1$$

Pieskaitiet 3y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=3y+1$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Ar \frac{3y+1}{4} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+2y=3.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2y=3$$

Pieskaitiet \frac{3y}{4} pie 2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{1}{4}=3$$

Atņemiet \frac{1}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{11}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} pie \frac{3}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}+\frac{3}{11}\times 3\\-\frac{1}{11}+\frac{4}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=1,y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

Lai vienādotu 4x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$4x-3y=1,4x+4\times 2y=4\times 3$$

Vienkāršojiet.

$$4x-3y=1,4x+8y=12$$

Atņemiet 4x+8y=12 no 4x-3y=1 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$4x-4x-3y-8y=1-12$$

Pieskaitiet 4x pie -4x. Locekļus 4x un -4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-3y-8y=1-12$$

Pieskaitiet -3y pie -8y.

$$-11y=1-12$$

Pieskaitiet 1 pie -12.

$$-11y=-11$$

Daliet abas puses ar -11.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x+2y=3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x+2=3$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=1$$