Atrisiniet 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4x^{2}+ax+bx-11. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -20.

$$a=-22 b=2$$

Pārrakstiet 4x^{2}-20x-11 kā \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Iznesiet reizinātāju 2x pirms iekavām izteiksmē 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-11 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-11=0 un 2x+1=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -20 un c ar -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -20 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 400 pie 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

Skaitļa -20 pretstats ir 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{20±24}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 20 pie 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{44}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{20±24}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 24 no 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-4}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Pieskaitiet 11 abās vienādojuma pusēs.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Atņemot -11 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Atņemiet -11 no 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Daliet -20 ar 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -5 ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Pieskaitiet \frac{11}{4} pie \frac{25}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Pieskaitiet \frac{5}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$