Atrisiniet 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 28 un c ar 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 28 kvadrātā.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 784 pie -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-28±8i}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -28 pie 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Daliet -28+8i ar 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-28±8i}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8i no -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Daliet -28-8i ar 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Atņemiet 53 no vienādojuma abām pusēm.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Atņemot 53 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Daliet 28 ar 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu 7 ar 2, lai iegūtu \frac{7}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Pieskaitiet -\frac{53}{4} pie \frac{49}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Atņemiet \frac{7}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$