Atrisiniet 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 3, b ar -11 un c ar -4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±13}{6}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-4 un x+\frac{1}{3} ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-4 ir pozitīva, bet vērtība x+\frac{1}{3} ir negatīva.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x+\frac{1}{3} ir pozitīva, bet vērtība x-4 ir negatīva.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$