Atrisiniet 3x^2+45x-354=0

$$3 { x }^{ 2 } +45x-354=0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{697} - 15}{2} \approx 5,700378782$$

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}\approx -20,700378782$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 45 un c ar -354.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 45 kvadrātā.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-12\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -354.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4248}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 2025 pie 4248.

$$x=\frac{-45±\sqrt{6273}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 6273.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -45 pie 3\sqrt{697}.

$$x=\frac{3\sqrt{697}-45}{6}$$

Daliet -45+3\sqrt{697} ar 6.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3\sqrt{697} no -45.

$$x=\frac{-3\sqrt{697}-45}{6}$$

Daliet -45-3\sqrt{697} ar 6.

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Pieskaitiet 354 abās vienādojuma pusēs.

$$3x^{2}+45x-354-\left(-354\right)=-\left(-354\right)$$

Atņemot -354 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+45x=-\left(-354\right)$$

Atņemiet -354 no 0.

$$3x^{2}+45x=354$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+45x}{3}=\frac{354}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{45}{3}x=\frac{354}{3}$$

Daliet 45 ar 3.

$$x^{2}+15x=\frac{354}{3}$$

Daliet 354 ar 3.

$$x^{2}+15x=118$$

Daliet locekļa x koeficientu 15 ar 2, lai iegūtu \frac{15}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{15}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=118+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{15}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=118+\frac{225}{4}$$

Pieskaitiet 118 pie \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{697}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{697}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{697}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{697}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{697}}{2}$$

Atņemiet \frac{15}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$