Atrisiniet 3x^2+20x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } +20x-60 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{2 \sqrt{70} - 10}{3} \approx 2,244400177$$

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}\approx -8,911066844$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 20 un c ar -60.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 20 kvadrātā.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -60.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+720}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 400 pie 720.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1120}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1120.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -20 pie 4\sqrt{70}.

$$x=\frac{4\sqrt{70}-20}{6}$$

Daliet -20+4\sqrt{70} ar 6.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4\sqrt{70} no -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{70}-20}{6}$$

Daliet -20-4\sqrt{70} ar 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Pieskaitiet 60 abās vienādojuma pusēs.

$$3x^{2}+20x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Atņemot -60 no sevis, paliek 0.

$$3x^{2}+20x=-\left(-60\right)$$

Atņemiet -60 no 0.

$$3x^{2}+20x=60$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+20x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=\frac{60}{3}$$

Daliet 60 ar 3.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=20$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{20}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{10}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{10}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=20+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{10}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=20+\frac{100}{9}$$

Pieskaitiet 20 pie \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{280}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{280}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{280}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{2\sqrt{70}}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{2\sqrt{70}}{3}$$

Atņemiet \frac{10}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$