Atrisiniet 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Atrast y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 25y^{2}+ay+by-63. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -54.

$$a=-75 b=21$$

Pārrakstiet 25y^{2}-54y-63 kā \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Sadaliet 25y pirmo un 21 otrajā grupā.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju y-3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet y-3=0 un 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 25, b ar -54 un c ar -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Kāpiniet -54 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Reiziniet -4 reiz 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Reiziniet -100 reiz -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Pieskaitiet 2916 pie 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Skaitļa -54 pretstats ir 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Reiziniet 2 reiz 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{54±96}{50}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 54 pie 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Daliet 150 ar 50.

$$y=3$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{54±96}{50}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 96 no 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-42}{50} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Pieskaitiet 63 abās vienādojuma pusēs.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Atņemot -63 no sevis, paliek 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Atņemiet -63 no 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Daliet abas puses ar 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Dalīšana ar 25 atsauc reizināšanu ar 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{54}{25} ar 2, lai iegūtu -\frac{27}{25}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{27}{25} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{27}{25}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Pieskaitiet \frac{63}{25} pie \frac{729}{625}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Pieskaitiet \frac{27}{25} abās vienādojuma pusēs.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$