Atrisiniet 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Savelciet 25x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 24x^{2}+ax+bx-25. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -10.

$$a=-30 b=20$$

Pārrakstiet 24x^{2}-10x-25 kā \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Sadaliet 6x pirmo un 5 otrajā grupā.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4x-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4x-5=0 un 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Savelciet 25x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 24, b ar -10 un c ar -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kāpiniet -10 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Reiziniet -4 reiz 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Reiziniet -96 reiz -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Pieskaitiet 100 pie 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Skaitļa -10 pretstats ir 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Reiziniet 2 reiz 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±50}{48}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 10 pie 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{60}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±50}{48}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 50 no 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-40}{48} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Savelciet 25x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Pievienot 25 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$24x^{2}-10x=25$$

Daliet abas puses ar 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Dalīšana ar 24 atsauc reizināšanu ar 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-10}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{5}{12} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{24}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{24} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{24}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Pieskaitiet \frac{25}{24} pie \frac{25}{576}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Pieskaitiet \frac{5}{24} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$