Atrisiniet 2x^2+4x-2leq0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 2 \leq 0$$

Atrast x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 2, b ar 4 un c ar -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)\leq 0$$

Lai reizinājums būtu ≤0, vienai no vērtībām x-\left(\sqrt{2}-1\right) un x-\left(-\sqrt{2}-1\right) ir jābūt ≥0, bet otrai ir jābūt ≤0. Apsveriet gadījumu, kad x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 un x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kad x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0 un x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left[-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$