Atrisiniet 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Atrast x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4x^{2}+ax+bx+9. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 12.

$$a=6 b=6$$

Pārrakstiet 4x^{2}+12x+9 kā \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un 3 otrajā grupā.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x+3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 12, b ar 36 un c ar 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Kāpiniet 36 kvadrātā.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Reiziniet -4 reiz 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Reiziniet -48 reiz 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Pieskaitiet 1296 pie -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Reiziniet 2 reiz 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-36}{24} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Atņemiet 27 no vienādojuma abām pusēm.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Atņemot 27 no sevis, paliek 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Daliet abas puses ar 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Dalīšana ar 12 atsauc reizināšanu ar 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Daliet 36 ar 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-27}{12} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu 3 ar 2, lai iegūtu \frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Pieskaitiet -\frac{9}{4} pie \frac{9}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Atņemiet \frac{3}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$x=-\frac{3}{2}$$