Atrisiniet -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Atrast y, x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet otro vienādojumu. Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -3 ar x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Savelciet x un -3x, lai iegūtu -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Atņemiet 2y no abām pusēm.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Pievienot 8x abās pusēs.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Pievienot 6 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$6x-2y=6$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet y, izolējot y pa kreisi no vienādības zīmes.

$$-6y+2x=12$$

Atņemiet 2x no vienādojuma abām pusēm.

$$-6y=-2x+12$$

Daliet abas puses ar -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Reiziniet -\frac{1}{6} reiz -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Ar \frac{x}{3}-2 aizvietojiet y otrā vienādojumā -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Reiziniet -2 reiz \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Pieskaitiet -\frac{2x}{3} pie 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Atņemiet 4 no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{16}{3}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$x=\frac{3}{8}$$

Aizvietojiet x ar \frac{3}{8} vienādojumā y=\frac{1}{3}x-2. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Reiziniet \frac{1}{3} ar \frac{3}{8}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Pieskaitiet -2 pie \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet otro vienādojumu. Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -3 ar x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Savelciet x un -3x, lai iegūtu -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Atņemiet 2y no abām pusēm.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Pievienot 8x abās pusēs.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Pievienot 6 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$6x-2y=6$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus y un x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet otro vienādojumu. Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -3 ar x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Savelciet x un -3x, lai iegūtu -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Atņemiet 2y no abām pusēm.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Pievienot 8x abās pusēs.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Savelciet -2x un 8x, lai iegūtu 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Pievienot 6 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$6x-2y=6$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Lai vienādotu -6y un -2y, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Vienkāršojiet.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Atņemiet 12y-36x=-36 no 12y-4x=-24 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Pieskaitiet 12y pie -12y. Locekļus 12y un -12y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-4x+36x=-24+36$$

Pieskaitiet -4x pie 36x.

$$32x=-24+36$$

Pieskaitiet -24 pie 36.

$$32x=12$$

Daliet abas puses ar 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Aizvietojiet x ar \frac{3}{8} vienādojumā -2y+6x=6. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Reiziniet 6 reiz \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Atņemiet \frac{9}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Daliet abas puses ar -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$