Atrisiniet -16/5t^2+6t=45

$$- \frac { 16 } { 5 } t ^ { 2 } + 6 t = 45$$

Atrast t

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}\approx 0,9375+3,630921887i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}\approx 0,9375-3,630921887i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Atņemiet 45 no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=45-45$$

Atņemot 45 no sevis, paliek 0.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -\frac{16}{5}, b ar 6 un c ar -45.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36+\frac{64}{5}\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Reiziniet \frac{64}{5} reiz -45.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-576}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Pieskaitiet 36 pie -576.

$$t=\frac{-6±\sqrt{-540}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -540.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6 pie 6i\sqrt{15}.

$$t=\frac{-6+6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Daliet -6+6i\sqrt{15} ar -\frac{32}{5}, reizinot -6+6i\sqrt{15} ar apgriezto daļskaitli -\frac{32}{5} .

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6i\sqrt{15} no -6.

$$t=\frac{-6\sqrt{15}i-6}{-\frac{32}{5}}$$

Daliet -6-6i\sqrt{15} ar -\frac{32}{5}, reizinot -6-6i\sqrt{15} ar apgriezto daļskaitli -\frac{32}{5} .

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16} t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{16}{5}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$\frac{-\frac{16}{5}t^{2}+6t}{-\frac{16}{5}}=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Dalīšana ar -\frac{16}{5} atsauc reizināšanu ar -\frac{16}{5}.

$$t^{2}+\frac{6}{-\frac{16}{5}}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Daliet 6 ar -\frac{16}{5}, reizinot 6 ar apgriezto daļskaitli -\frac{16}{5} .

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Daliet 45 ar -\frac{16}{5}, reizinot 45 ar apgriezto daļskaitli -\frac{16}{5} .

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=-\frac{225}{16}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{15}{8} ar 2, lai iegūtu -\frac{15}{16}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{15}{16} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{225}{16}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{15}{16}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{225}{16}+\frac{225}{256}$$

Pieskaitiet -\frac{225}{16} pie \frac{225}{256}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{3375}{256}$$

Sadaliet reizinātājos t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{3375}{256}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3375}{256}}$$

Vienkāršojiet.

$$t-\frac{15}{16}=\frac{15\sqrt{15}i}{16} t-\frac{15}{16}=-\frac{15\sqrt{15}i}{16}$$

Pieskaitiet \frac{15}{16} abās vienādojuma pusēs.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16} t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$