Atrisiniet (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 20-x ar 100+20x un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Atņemiet 2240 no abām pusēm.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Atņemiet 2240 no 2000, lai iegūtu -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -20, b ar 300 un c ar -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kāpiniet 300 kvadrātā.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Reiziniet 80 reiz -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Pieskaitiet 90000 pie -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -300 pie 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Daliet -300+20\sqrt{177} ar -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 20\sqrt{177} no -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Daliet -300-20\sqrt{177} ar -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 20-x ar 100+20x un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Atņemiet 2000 no abām pusēm.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Atņemiet 2000 no 2240, lai iegūtu 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Daliet abas puses ar -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Dalīšana ar -20 atsauc reizināšanu ar -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Daliet 300 ar -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Daliet 240 ar -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Daliet locekļa x koeficientu -15 ar 2, lai iegūtu -\frac{15}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{15}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{15}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Pieskaitiet -12 pie \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{15}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$