Atrisiniet (x)=-1/2x^2+21x^2-7x+100

$$( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 21 x ^ { 2 } - 7 x + 100$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}\approx 0,195121951+2,199994592i$$

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}\approx 0,195121951-2,199994592i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Savelciet -\frac{1}{2}x^{2} un 21x^{2}, lai iegūtu \frac{41}{2}x^{2}.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Atņemiet \frac{41}{2}x^{2} no abām pusēm.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Pievienot 7x abās pusēs.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Savelciet x un 7x, lai iegūtu 8x.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Atņemiet 100 no abām pusēm.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}-100=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x-100=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -\frac{41}{2}, b ar 8 un c ar -100.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+82\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Reiziniet 82 reiz -100.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8200}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Pieskaitiet 64 pie -8200.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8136}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -8136.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -8 pie 6i\sqrt{226}.

$$x=\frac{-8+6\sqrt{226}i}{-41}$$

Daliet -8+6i\sqrt{226} ar -41.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6i\sqrt{226} no -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i-8}{-41}$$

Daliet -8-6i\sqrt{226} ar -41.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41} x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Savelciet -\frac{1}{2}x^{2} un 21x^{2}, lai iegūtu \frac{41}{2}x^{2}.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Atņemiet \frac{41}{2}x^{2} no abām pusēm.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Pievienot 7x abās pusēs.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Savelciet x un 7x, lai iegūtu 8x.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x=100$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{41}{2}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$\frac{-\frac{41}{2}x^{2}+8x}{-\frac{41}{2}}=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Dalīšana ar -\frac{41}{2} atsauc reizināšanu ar -\frac{41}{2}.

$$x^{2}+\frac{8}{-\frac{41}{2}}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Daliet 8 ar -\frac{41}{2}, reizinot 8 ar apgriezto daļskaitli -\frac{41}{2} .

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Daliet 100 ar -\frac{41}{2}, reizinot 100 ar apgriezto daļskaitli -\frac{41}{2} .

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=-\frac{200}{41}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{16}{41} ar 2, lai iegūtu -\frac{8}{41}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{8}{41} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{200}{41}+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{8}{41}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{200}{41}+\frac{64}{1681}$$

Pieskaitiet -\frac{200}{41} pie \frac{64}{1681}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{8136}{1681}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{8136}{1681}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8136}{1681}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{8}{41}=\frac{6\sqrt{226}i}{41} x-\frac{8}{41}=-\frac{6\sqrt{226}i}{41}$$

Pieskaitiet \frac{8}{41} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41} x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$