Atrisiniet (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Atrast x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Pievienot x abās pusēs.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5 ar x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x-5 ar x-1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Savelciet 9x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Saskaitiet 1 un 5, lai iegūtu 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Atņemiet 8 no 6, lai iegūtu -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Savelciet 6x un x, lai iegūtu 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4x^{2}+ax+bx-2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -8.

$$-1,8 -2,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-1 b=8$$

Pārrakstiet 4x^{2}+7x-2 kā \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Sadaliet x pirmo un 2 otrajā grupā.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 4x-1=0 un x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Pievienot x abās pusēs.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5 ar x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x-5 ar x-1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Savelciet 9x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Saskaitiet 1 un 5, lai iegūtu 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Atņemiet 8 no 6, lai iegūtu -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Savelciet 6x un x, lai iegūtu 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 7 un c ar -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 49 pie 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±9}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±9}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 9 no -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Daliet -16 ar 8.

$$x=-2$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Pievienot x abās pusēs.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5 ar x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -5x-5 ar x-1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Savelciet 9x^{2} un -5x^{2}, lai iegūtu 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Saskaitiet 1 un 5, lai iegūtu 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Savelciet 6x un x, lai iegūtu 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Atņemiet 6 no abām pusēm.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Atņemiet 6 no 8, lai iegūtu 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{7}{4} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} pie \frac{49}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Atņemiet \frac{7}{8} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$