Atrisiniet (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Atrast r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Saskaitiet 9 un 225, lai iegūtu 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Savelciet 6r un 30r, lai iegūtu 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Savelciet r^{2} un r^{2}, lai iegūtu 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Aprēķiniet 18 pakāpē 2 un iegūstiet 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Atņemiet 324 no abām pusēm.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Atņemiet 324 no 234, lai iegūtu -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 36 un c ar -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 36 kvadrātā.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 1296 pie 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -36 pie 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Daliet -36+12\sqrt{14} ar 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 12\sqrt{14} no -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Daliet -36-12\sqrt{14} ar 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Saskaitiet 9 un 225, lai iegūtu 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Savelciet 6r un 30r, lai iegūtu 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Savelciet r^{2} un r^{2}, lai iegūtu 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Aprēķiniet 18 pakāpē 2 un iegūstiet 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Atņemiet 234 no abām pusēm.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Atņemiet 234 no 324, lai iegūtu 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Daliet 36 ar 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Daliet 90 ar 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Daliet locekļa x koeficientu 18 ar 2, lai iegūtu 9. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 9 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Kāpiniet 9 kvadrātā.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Pieskaitiet 45 pie 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Sadaliet reizinātājos r^{2}+18r+81. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Vienkāršojiet.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$