Atrisiniet (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Atrast x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=-3$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Atņemiet 4x no abām pusēm.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Savelciet 20x un -4x, lai iegūtu 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Atņemiet 4 no abām pusēm.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Atņemiet 4 no 25, lai iegūtu 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx+21. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 16.

$$a=7 b=9$$

Pārrakstiet 3x^{2}+16x+21 kā \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right).

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Sadaliet x pirmo un 3 otrajā grupā.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x+7 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x+7=0 un x+3=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Atņemiet 4x no abām pusēm.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Savelciet 20x un -4x, lai iegūtu 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Atņemiet 4 no abām pusēm.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Atņemiet 4 no 25, lai iegūtu 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 16 un c ar 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 16 kvadrātā.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 256 pie -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-16±2}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -16 pie 2.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-14}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-16±2}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2 no -16.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Daliet -18 ar 6.

$$x=-3$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Atņemiet 4x no abām pusēm.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Savelciet 20x un -4x, lai iegūtu 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Atņemiet 25 no abām pusēm.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Atņemiet 25 no 4, lai iegūtu -21.

$$3x^{2}+16x=-21$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Daliet -21 ar 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{16}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{8}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{8}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{8}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Pieskaitiet -7 pie \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

Atņemiet \frac{8}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$