Atrisiniet (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Atrast x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Savelciet 4x un 10x, lai iegūtu 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Atņemiet 25 no abām pusēm.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Atņemiet 25 no 1, lai iegūtu -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx-24. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 14.

$$a=-4 b=18$$

Pārrakstiet 3x^{2}+14x-24 kā \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Sadaliet x pirmo un 6 otrajā grupā.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x-4=0 un x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Savelciet 4x un 10x, lai iegūtu 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Atņemiet 25 no abām pusēm.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Atņemiet 25 no 1, lai iegūtu -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 14 un c ar -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 14 kvadrātā.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 196 pie 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-14±22}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -14 pie 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{8}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-14±22}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 22 no -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Daliet -36 ar 6.

$$x=-6$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Pievienot 10x abās pusēs.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Savelciet 4x un 10x, lai iegūtu 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Atņemiet 1 no 25, lai iegūtu 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Daliet 24 ar 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{14}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Pieskaitiet 8 pie \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Atņemiet \frac{7}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$